Hur man beräknar siffror av pi

Hur man beräknar siffror av pi hur

alopez-o / Gif / next_motif.gif" / Gt;

alopez-o / Gif / up_motif.gif ”/>

alopez-o / Gif / previous_motif.gif ”/>

Symbolisk beräkning program som Lönn eller Mathematica kan beräkna 10.000 siffrorna i pi i en blink, och ytterligare 20,000-1,000,000 siffror över natten (intervall beror på hårdvaruplattform).

Det är möjligt att hämta 1.25+ miljoner siffrorna i pi via anonym ftp från platsen wuarchive.wustl.edu i filerna pi.doc.Z och pi.dat.Z som bor i katalogen doc / misc / pi. New Yorks Tjudnovskij bröder har beräknats 2 miljarder siffror pi på en homebrew dator.

Det nuvarande rekordet innehas av Yasumasa Kanada och Daisuke Takahashi från University of Tokyo med 51 miljarder siffrorna i pi (51,539,600,000 decimaler för att vara exakt).


Nick Johnson-Hill har en intressant sida av pi trivia hos: http://www.users.globalnet.co.uk/ nickjh / Pi.htm

Detta beräkningar gjordes av Yasumasa Kanada, vid University of Tokyo.

Det finns i huvudsak 3 olika metoder för att beräkna pi till många decimaler.

  1. En av de äldsta är att använda kraften serien expansion atan (x) = x – x ^ 3/3 + x ^ 5/5 -. tillsammans med formler som pi = 16 * atan (1/5) – 4 * atan (1/239). Detta ger ca 1,4 decimaler per termin.

  • En andra är att använda formler som kommer från aritmetisk-geometriskt medelvärde beräkningar. En vacker kompendium av sådana formler ges i boken pi och stämman, (se referenser). De har fördelen av konvergerande kvadrat, dvs du fördubbla antalet decimaler per iteration. Till exempel, för att erhålla 1 000 000 decimaler, cirka 20 iterationer är tillräckliga. Nackdelen är att du behöver FFT typ multiplikation för att få en rimlig hastighet, och det är inte så lätt att programmera.
  • En tredje man kommer från teorin om komplex multiplikation av elliptiska kurvor, och upptäcktes av S. Ramanujan. Detta ger ett antal vackra formler, men den mest användbara missade av Ramanujan och upptäcktes av Tjudnovskij talet. Det är följande (lätt modifierad för att underlätta programmering):

    Uppsättning k_1 = 545140134;k_2 = 13591409;k_3 = 640320;k_4 = 100100025;k_5 = 327843840;k_6 = 53360;

    Sedan pi = (k_6 sqrt (k_3)) / (S). var

    S = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n ((6n)! (K_2 + nk_1)) / (n! ^ 3 (3n)! (8k_4k_5) ^ n)

    De stora fördelarna med denna formel är att

    1) Det konvergerar linjärt, men mycket snabbt (mer än 14 decimala siffror per termin).

    2) Hur det står skrivet att alla operationer beräkna S kan programmeras mycket enkelt. Det är därför det konstanta 8k_4k_5 förekommer i nämnaren har skrivits på detta sätt istället för 262537412640768000. Detta är hur Tjudnovskij s har beräknat flera miljarder decimaler.

    En intressant ny metod har nyligen föreslagits av David Bailey, Peter Borwein och Simon Plouffe. Den kan beräkna N th hexadecimalt siffran i Pi effektivt utan föregående N-1 siffror. Metoden är baserad på formeln:

    pi = sum_ (i = 0) ^ oo (1 16 ^ i) ((4 8i + 1) – (2 8i + 4) – (1 8i + 5) – (1 8i + 6))

    i PÅ) tid och O (log N) rymden. (Se referenser.)

    Följande 160 tecken C-programmet, skriven av Dik T. Vinter på CWI, beräknar pi till 800 decimaler.

    referenser

    P.B. Borwein, och D. H. Bailey.Ramanujan, modulära ekvationer och approximationer till piAmerican Mathematical Monthly, vol. 96, nr. 3 (mars 1989), s. 201-220.

    D. H. Bailey, P. B. Borwein, och S. Plouffe.En ny formel för att plocka bort Pieces of Pi,Science News, v 148, s 279 (28 oktober 1995). också på http://www.cecm.sfu.ca/

    J.M. Borwein och P.B. Borwein.Det aritmetiska-geometriska medelvärdet och snabb beräkning av elementära funktioner.SIAM Review, Vol. 26, 1984, sid. 351-366.

    J.M. Borwein och P.B. Borwein.Mer kvadratiskt konvergerande algoritmer för pi .Matematik i beräkning, Vol. 46, 1986, sid. 247-253.

    Shlomo Breuer och Gideon ZwasMatematisk-pedagogiska aspekter av beräkningen av piInt. J. Math. Educ. Sci. Technol., Vol. 15, nr 2, 1984, sid. 231-244.

    David Tjudnovskij och Gregory Tjudnovskij.Beräkningen av klassiska konstanter.Columbia University, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Vol. 86, 1989.

    Klassiska Konstanter och funktioner: beräkningar och kedjebråk utökningarD.V.Chudnovsky, G.V.Chudnovsky, H.Cohn, M.B.Nathanson, red. Talteori, New York seminariet 1989-1990.

    Y. Kanada och Y. Tamura.beräkning av pi till 10,013,395 decimaler baserade på Gauss-Legendre algoritm och Gauss arcus relation.Computer Centre, University of Tokyo, 1983.

    Morris Newman och Daniel Shanks.På en sekvens som uppstår i serie för pi .Matematik beräknings, Vol. 42, nr 165, Jan 1984, sid. 199-217.

    E. Salamin.beräkning av pi användning av aritmetisk-geometriskt medelvärde.Matematik i beräkning, Vol. 30, 1976, pp. 565-570

    David Singmaster.De rättsliga värdena pi .Den matematiska Intelligencer, Vol. 7, nr 2, 1985.

    Stan Wagon.Är pi vanligt?Den matematiska Intelligencer, Vol. 7, nr 3, 1985.

    En historia av pi .P. Beckman. Golem Press, CO, 1971 (fjärde upplagan 1977)

    pi och AGM – en studie i analytisk talteori och beräkningskomplexitet.J.M. Borwein och P.B. Borwein. Wiley, New York, 1987.

    alopez-o / Gif / next_motif.gif ”/>

    alopez-o / Gif / up_motif.gif ”/>

    alopez-o / Gif / previous_motif.gif ”/>

    Alex Lopez-Ortiz
    Fre 20 feb 21:45:30 EST 1998

    Källa: cs.uwaterloo.ca
    ”>

  • Kommentera

    E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *

    fem × ett =